Partie A : de l'accélérateur de particules au cercle trigonométrique

Le cercle ci-dessous représente un synchrotron de rayon \(100\) m. 
Au niveau des quatre points `\text{I}`, `\text{J}`, \(\text{I}'\) et `\text{J}^\prime` de l'anneau se trouvent des cavités radiofréquence qui donnent de l'énergie aux particules à chaque passage.

On s'intéresse à une particule qu'on injecte dans le synchrotron au point `\text{I}` et qui se déplace dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

1. Quelle est la circonférence de l'anneau du synchrotron ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à `10^{-2}` près.
2. Quelle est la longueur de l'arc \(\stackrel \frown{\text{IJ}}\) ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à `10^{-2}` près.
3. Après avoir parcouru `10` km, dans quel quart de cercle la particule se trouve-t-elle ?
4. a. Donner la valeur exacte de la distance parcourue par la particule dans l'anneau lors de son passage au niveau du point `\text{I}` sachant qu'elle a effectué `5` tours complets dans l'anneau.
    b. On note `k` le nombre de tours complets effectués par la particule. Exprimer en fonction de `k` la distance parcourue par la particule dans l'anneau lors de son passage au niveau du point `\text{I}`.
5. a. Calculer la distance parcourue par la particule dans l'anneau lors de son passage au niveau du point `\text{J}` sachant qu'elle a effectué `10` tours complets dans l'anneau.
    b.  On note `k` le nombre de tours complets effectués par la particule. Exprimer en fonction de `k` la distance parcourue par la particule dans l'anneau lors de son passage au niveau du point `\text{J}`.